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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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14. Hallar, si existen, los puntos de intersección de los gráficos de $f$ y $g$.
a) $f(x)=x^{2}+5 x+4, g(x)=3 x+7$

Respuesta

Recordá que los puntos de intersección entre dos funciones son aquellos puntos donde ambas funciones valen lo mismo. O también podés pensarlo gráficamente: Los puntos de intersección son los puntos donde las gráficas de ambas funciones se cruzan. Y dependiendo de las funciones pueden cruzarse una vez, dos, tres, etc. Por lo que vamos a tener un punto de intersección, o dos puntos de intersección, o tres, etc.

Siempre que tengamos que calcular puntos de intersección vamos a empezar igualando ambas funciones, porque justamente dijimos que en esos puntos ambas funciones valen lo mismo.



Las funciones que tenemos son:
$f(x)=x^2+5x+4$
 
$g(x)=3x+7$




• Igualo las funciones y despejo x:

$f(x)=g(x)$
$x^2+5x+4=3x+7$

$x^2+5x-3x+4-7=0$ 


$x^2+2x-3=0$


Resuelvo usando la fórmula resolvente de cuadráticas:

$a=1$, $b=2$, $c=-3$


Obteniendo $x_1=-3$ y $x_2=1$ 


• Tenemos entonces dos puntos de intersección, que tienen la siguiente forma:
$P_1=(x_1;y_1)=(-3;y_1)$
$P_2=(x_2;y_2)=(1;y_2)$



• Para obtener $y_1$ y $y_2$ reemplazamos $x_1$ y $x_2$ en $f(x)$ o $g(x)$:

Podes reemplazarlas en ambas funciones para chequear el resultado (recomiendo muuuucho hacer esto):
$y_1=g(x_1)=3(-3)+7=-9+7=-2$
$y_2=g(x_2)=3(1)+7=3+7=10$



Entonces, los puntos de intersección son:
$P_1=(-3;-2)$
$P_2=(1;10)$
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Avatar Manuela 23 de mayo 19:23
Hola profe, a mi la resolvente me da x1= -1 + raíz de 3 | x2 = -1 - raíz de 3
No sé como llegar a lo que vos llegaste :(
Avatar Julieta Profesor 26 de mayo 13:53
@Manuela Hola Manu! Podés pedirle a ExaBoti que te muestre cómo hacer la fórmula resolvente. Yo te la dejo acá igual: 

$x = \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$


$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - (-12)}}{2}$


$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$


$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}$


$x = \frac{-2 \pm 4}{2}$


 -> $x_1 = \frac{-2 + 4}{2}$

     $x_1 = \frac{2}{2}$

     $x_1 = 1$


 -> $x_2 = \frac{-2 - 4}{2}$

     $x_2 = \frac{-6}{2}$

     $x_2 = -3$



Te quedan entonces las soluciones $x = 1$ y $x = -3$
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